相关系数r的第二个公式在统计学中，相关系数（通常用r表示）是衡量两个变量之间线性关系强度和路线的一个重要指标。我们通常所知的相关系数公式是基于协方差与标准差的比值，即：

$$ r = \frac\textCov}(X, Y)}\sigma_X \cdot \sigma_Y} $$

但除了这个常用公式之外，还有一个等价的表达方式，被称为“相关系数r的第二个公式”。该公式更便于手动计算或领会其数学结构。

一、相关系数r的第二个公式的定义

相关系数r的第二个公式为：

$$ r = \fracn\sum xy – (\sum x)(\sum y)}\sqrt[n\sum x^2 – (\sum x)^2][n\sum y^2 – (\sum y)^2]}} $$

其中：

– $ n $ 是数据对的数量；

– $ x $ 和 $ y $ 分别是两个变量的观测值；

– $ \sum xy $ 表示所有x与y乘积之和；

– $ \sum x $ 和 $ \sum y $ 分别是x和y的总和；

– $ \sum x^2 $ 和 $ \sum y^2 $ 分别是x和y的平方和。

二、与第一个公式的区别

三、使用示例

假设我们有下面内容数据：

根据第二个公式计算：

– $ n = 4 $

– $ \sum x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $

– $ \sum y = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 $

– $ \sum xy = (1×2) + (2×4) + (3×6) + (4×8) = 2 + 8 + 18 + 32 = 60 $

– $ \sum x^2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $

– $ \sum y^2 = 22 + 42 + 62 + 82 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120 $

代入公式：

$$

r = \frac4×60 – (10)(20)}\sqrt[4×30 – (10)^2][4×120 – (20)^2]}}

= \frac240 – 200}\sqrt[120 – 100][480 – 400]}}

= \frac40}\sqrt20×80}}

= \frac40}\sqrt1600}}

= \frac40}40} = 1

$$

结局表明，x与y之间存在完全正相关关系。

四、拓展资料

相关系数r的第二个公式提供了一种不依赖均值的计算方式，更加适合手工计算或教学中使用。它从原始数据出发，通过简单的加法和乘法运算得出相关系数，有助于加深对相关性本质的领会。