不等式啥时候变号例子 不等式什么时候变号? 不等式什么时候可以相减

不等式变号的核心制度

在不等式的变形经过中，当且仅当不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的路线需要改变。这是不等式与等式在性质上的关键区别。下面内容为具体分析：

一、变号的唯一情况：乘/除以负数

• 数学依据

  • 根据不等式的基本性质3：若对不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的路线必须改变。
  • 示例：
    • 若不等式为 \( -x > 20 \)，两边同时乘以 \(-5\)，需变号为 \( x < -100 \) 。
    • 若不等式为 \( 2x – 1 < 1 – x \)，两边同时除以 \(-3\)，需变号为 \( 2x – 1 > -(1 – x) \) 。

• 直观解释

  • 负数会改变数值的正负关系，例如：
    • \( 3 < 4 \)，但两边乘以 \(-1\) 后变为 \( -3 > -4 \)（路线反转）；
    • \( 12 > 9 \)，但两边乘以 \(-2\) 后变为 \( -24 < -18 \) 。

二、无需变号的操作

• 加减同一数或整式

  • 不等式两边同时加上或减去任意数（正数、负数或零），不等号路线不变。
  • 示例：
    • \( x + 6 > 5 \) 移项后变为 \( x > -1 \)，路线未变。

• 乘/除以正数

  • 若两边同时乘以或除以同一正数，不等号路线不变。
  • 示例：
    • 若 \( 3x \leq 16 \)，两边除以 \( 3 \) 得 \( x \leq \frac16}3} \)，路线保持不变。

三、易混淆场景辨析

• 移项操作

  • 移项本质是加减法的变形，例如将 \( 3x – 2 > 2x + 2 \) 移项为 \( 3x – 2x > 2 + 2 \)，属于加减同一数，无需变号。

• 多步运算中的符号处理

  • 若变形中同时涉及加减和乘除负数，需分步操作。例如：
    • 解 \( -2x < 17 \) 时，仅需两边除以 \(-2\) 并变号，得到 \( x > -\frac17}2} \) 。

不等式变号的唯一触发条件是对两边同时乘以或除以负数。其他操作（如加减、乘/除以正数）均不改变不等号路线。在解题时需特别注意负号的影响，避免路线错误导致解集偏差。